sábado, 25 de fevereiro de 2012

Fórmulas para PA e PG

Após muitas dúvidas e esquecimentos, aí vão as fórmulas de PA e PG.

PA, onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro, n é a quantidade de termos e r é a razão. Depois Sn é a soma dos n primeiros termos, com a1 primeiro termo e an o n-ésimo termo e n é a quantidade de termos na soma.



PG, onde a1 é o primeiro e an é o n-ésimo termo, q é a razão e n é o n-ésimo termo. Para soma valem os mesmos, com Sn a soma dos n primeiros termos da PG.

73 comentários:

  1. Material ótimo para consultas rápidas. Obrigado.

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  2. o valor de x,de modo que os numeros 3x-1,x+3 e x+9 estejam,nessa ordem.em pa é??

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    1. tipo... vc tem a PA 8,x,18. para descobrir o valor de X sem ter a razão, basta vc pegar o o termo An somar com o An+2 e dividir o resultado por 2. que no caso ficaria (8+18)/2 = 26/2 = 13.
      usando o mesmo método vc pode resolver o problema que vc apresentou.

      Espero ter ajudado, e alguém me corrija se eu estiver errado! flw!

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  3. x+3 - (3x-1) = x+9 - (x+3)
    x+3-3x+1 = x+9-x-3
    -2x + 4 = 6
    -2x = 2
    x = -1

    A sequencia ficaria = -4, 2, 8

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    1. Obrigado professor,respondeu minha duvida sem eu lhe perguntar.

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    2. professor ao refazer a questão pude perceber que ao substituir no indice por x= -1!
      a primeira conta ficaria da seguinte forma, nos meus calculos:
      3x-1
      3(-1)-1= 2 e nao -4!
      vc poderia me esclarecer?

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    3. (segundo termo)-(primeiro)=(terceiro)-(segundo)
      a razão não se altera

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  4. Lembrando que em uma PA as diferenças entre termos consecutivos é sempre igual...

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  5. Professor Bonelli,
    Os lados de um quadrilátero formam uma PG de razão 2. Sabendo que a diferença entre o maior e o menor lado é 84, o perímetro desse quadrilátero é?? =/

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  6. Perimetro é a soma dos lados (que são 4 no quadrilátero). Entao a Sn da PG fica:

    Sn = a1.(2^4 - 1) : 2 - 1
    (2 elevado a 4 menos 1, tudo dividido por 2 - 1)

    Sn = a1.15 => Veja que são duas incógnitas e nao podemos descobri-las só com essa equação. Qnd isso surge, devemos utilizar a outra fórmula da PG => an = a1.q^n-1

    Veja abaixo:

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  7. Só recapitulando, 2 elevado a 4 pois q = razão = 2 e n = numeros de termos = numero de lados = 4.

    Entao, sabemos que
    1) a4 - a1 = 84 (diferença dita no enunciado)
    2) a4 = a1.2^3 (fórmula do an = a1.q^(n-1))

    De 2) a4 = a1.8 ou a4 = 8a1

    Coloque esse valor em 1) 8a1 - a1 = 84

    7a1 = 84 (dividindo por 7 temos)
    a1 = 12

    Entao voltando lá atras no Sn = 15a1 temos

    Sn = perimetro = 15.12 = 180 \o/

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  8. Lembre-se que na Matemática do "teclado de computador" x elevado ao quadrado escreve-se

    x^2

    =D

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    1. Bonelli, para uma representação mais didática (x²) podes digitar o x e usar o alt code (0178).

      Segure ALT, digite 0178, solte ALT.

      Talvez já soubesses.

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    2. alt gr serve pra ² e ³ aperta alt gr e o numero

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  9. Professor, me ajude ! ):
    Quantos numeros ímpares há entre 18 e 272?
    Obrigada

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    1. Números ímpares vão de 2 em dois, PA com razão 2. Podemos começar com o 19(a1) e terminar com o 271 (an).

      an = a1 + (n - 1).r
      271 = 19 + (n - 1).2 [subtraia 19]
      252 = (n - 1).2 [divida por 2]
      126 = n - 1 [some 1]
      127 = n

      127 termos, ou melhor, números ímpares.

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    2. Quantos números há de 18 para 272? 254. Qual, em valor numérico, é a varição de impar e par? 2. Logo, 254/2 = 127. e_e

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  10. Professor calcule por favor o a8 quando a3=16 e a6=1024 numa PG?

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    1. Use a fórmula para PG an = a1.q^(n-1) (q elevado a n - 1)

      Deverá formar um sistema com duas equações, veja:

      a3 = a1.q^(3-1)
      a3 = a1.q^2 = 16

      a6 = a1.q^(6-1)
      a6 = a1.q^5 = 1024

      Entao temos que a1=16/q^2 ( 16 dividido por q elevado a 2)

      E tb que a1 = 1024/q^5 (1024 dividido por q elevado a 5).

      Igauale as duas frações, pois ambas sao valores de a1.

      (16/q^2) = (1024/q^5) Passe o q^5 multiplicando e o 16 dividindo.

      (q^5/q^2) = (1024/16) Efetuando as operações temos:
      q^3 = 64 (q elevado a 3 igual 64)

      q = razão da PG = 4, pois 4.4.4=64

      Entao, com razao 4, pegue a6=1024 e faça x4 e depois x4, que acharás a8 = 16348

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  11. prof,como eu sei q formula eu devo usar em um P.G?

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    1. Se o problema fala de "soma" você usa Sn. Se não fala de "soma" e apenas dos "termos" vc usa a fórmula do an.

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    2. Porém, quando sei que é PG ou PA? :/

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  12. Professor, gostaria que o senhor resolvesse a seguinte questão, obrigado desde já.


    "A sequência (x,5,y)é aritmética e sua razão vale r. A sequência (x,4,y) é geométrica e sua razão vale q. Calcule o valor de r/q, sabendo que x<y."

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    1. Em PA se pegarmos um termo e subtrairmos seu antecessor, teremos a razão. Entao r = 5-x = y-5.
      Em PG para o mesmo acontecer devemos pegar um termo e dividir pelo seu antecessor, entao q = 4/x = y/4.
      Agora temos duas equações com x e y.

      5-x=y-5 => 10 = y+x
      4/x = y/4 => 16 = xy => aqui podemos passar o x dividindo:

      y = 16/x coloque na primeira equação:
      16/x + x = 10 multiplique td por x
      16x/x + x^2 = 10x caiu numa equação do 2o grau
      16 + x^2 - 10x = 0 arrumando
      x^2 - 10x + 16 = 0 resolva voce mesmo e ira encontrar as raizes:

      x=2 ou x=8 Voltando nas equações veja que

      xy = 16
      Se x=2, y=8
      Se x=8, y=2 Como x<y pelo eunciado, x=2 e y=8

      Volte no r = 5-x = 5-2 = 3
      Volte no q = 4/x = 4/2 = 2

      E a razão r/q = 3/2

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  13. Professor o que seria o "q" na fórmula das PGs?
    na fórmula das PAs. r = razão. Qual seria a Razão nas PGs?

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  14. professor como eu acho o valor do decimo termo da sequencia Xn+2 = Xn+1 + Xn , onde n é um numero natural, e X¹ = X² = 1 ? issu e P.G ? nao consegui fazer de maneira alguma .

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    1. Este comentário foi removido pelo autor.

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    2. O que ele ta falando aí é q todo termo (Xn+2) é igual à soma do seu antecessor com o antecessor deste (Xn + Xn+1).

      E que o primeiro (x1) e o segundo (x2) termos valem 1.

      Essa é a sequencia (famosa) de Fibonacci.

      1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144....Sempre somando o termo com seu antecessor consegue-se o seu sucessor...
      Resposta 55

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  15. professor como eu acho o valor do decimo termo da sequencia Xn+2 = Xn+1 + Xn , onde n é um numero natural, e X¹ = X² = 1 ? issu e P.G ? nao consegui fazer de maneira alguma .

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  16. Professor ajuda ai; qual deve ser o valor de x na sequencia (7x-2,x2(ao quadradro)+3,3x).

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  17. Boa noite Professor, gostaria de sua ajuda na questão abaixo

    um determinado veiculo passou por um teste de desempenho no qual ele foi conduzido por 10 km no primeiro dia, por 20 km no segundo sia, por 40 km no terceiro dia e assim por diante. considerando que no ultimo dia de testes o veiculo rodou 5120 km, assinale a alternativa que contém o número de dias em que foram realizados testes.
    a) 8
    b)9
    c)7
    d)10

    Obrigado

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    1. para resolver isso é muito fácil:
      usa-se a fórmula an=a1.q^n-1
      an= 5120
      a1=10
      q=2
      n= ñ temos o valor
      5120=10.2^n-1
      5120/10=2^n-1
      512=2^n-1
      512= 2^9
      2^9=2^n-1
      corta-se a base
      n-1=9
      n=10

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  18. professor, isso também serveria para aplições de PA e PG???

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  19. Os moradores de um prédio recém inaugurado apresentaram um consumo de 1600L de água no 1 dia de uso na caixa de água. Nos dias seguintes houve um aumento de 50 %no consumo em relação ao dia anterior. Em qual dia o consumo será de 12150L?

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    1. essa é uma PG de quociente 1,5, pois o consumo aumenta em 50%, totalizando 150% de um dia para o outro, transformando em decimal fica 1,5. Sendo assim, aplicamos a fórmula an=a1.q^(n-1):

      12150=1600.1,5^(n-1)
      12150/1600=1,5^(n-1)

      Para facilitar o cálculo, fatoramos o 12150 e o 1600 e acharemos, respectivamente, 2.3^5.5^2 e 2^6.5^2, simplificando, restará 3^5/2^5, que é a mesma coisa que (3/2)^5 e 3/2=1,5, sendo assim:

      1,5^5=1,5^(n-1)
      5=n-1
      n=6

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  20. sabendo que 2x-4; 4x e 7x+1 são os três primeiros termos de uma progressão aritmética, a razão dessa P.A é?

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    1. Para descobrir a razão de uma PA subtraia qualquer termo pelo seu anterior:
      4x - (2x - 4) ou 7x + 1 - 4x. Como as duas expressoes representam a razão, então podemos igualá-las em uma equação:

      4x - (2x - 4) = 7x + 1 - 4x
      4x - 2x + 4 = 7x + 1 - 4x
      2x + 4 = 3x + 1
      4 - 1 = 3x - 2x
      x = 3
      Logo a PA é (2, 12, 22)
      Então a razão é 12 - 2 = 10

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  21. Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da primeira prestação é R$ 500,00, pode- se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a:

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    1. Questão incompleta, a correta é:Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode - se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a
      a) R$ 1.750,00.
      b) R$ 1.900,00.
      c) R$ 1.800,00.
      d) R$ 1.950,00
      e) R$ 1.850,00
      E a resposta é a seguinte:
      an= a1 + (n - 1) * r
      a12= 500 +(12 - 1) * r
      2150= 500 + 11r
      11r= 2150 - 500
      11r = 1650
      r = 1650 / 11
      r = 150

      Segue a mesma fórmula:
      an = a1 + (n - 1) * r
      a10 = 500 + (10 - 1) * 150
      a10 = 500 + 9 * 150
      a10 = 500 + 1350
      a10 = 1850

      Alternativa E

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  22. Você teria alguns exercícios de fixação?

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  23. professor qual o 4º termo de uma P.G, onde o 1º termo é 8 e o último é 128?

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  24. Mosso. Amanha dia 04/09/2013 as 08:00 horas da manha o senhor vai estar online? E porque eu vou fazer uma prova e preciso de sua ajuda na hora!

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    1. Poxa mosso voce nao me respondeu ): tirei 0

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    2. Este comentário foi removido pelo autor.

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  25. Peofessor poderia resolver a seguinte pergunta para mim?
    Em uma P.A., sabe-se que a soma dos 20 primeiros termos é igual a 200 e que a soma dos 30 primeiros termos é zero.Determine o valor do primeiro termo dessa P.A.

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  26. Qual a diferença entre PA e PG??
    Obrigada!! :)

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    1. A PA(progressão aritmética) é toda sequência numérica, em que a diferença a partir do 2º termo, apresenta uma constante chamada razão(r), exemplo (5,7,9,11,13...), a razão nesse caso é 2.
      A PG(progressão geométrica) é toda sequência numérica, em que a razão(divisão) a partir do 2º termo, apresenta uma constate chamada de quociente(q).exemplo: (2,4,8,16,32...) no caso o quociente é 2.
      Espero ter ajudado

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    2. Basicamente,
      na PA há uma sequencia numérica onde o próximo termo é obtido ao se somar um valor ao termo anterior. E sempre somando esse mesmo valor, chamado de razão da PA.

      na PG há uma sequencia numérica onde o próximo termo é obtido ao se multiplicar um valor ao termo anterior. E sempre multiplicando esse mesmo valor, chamado de razão da PG.

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  27. professor prove por favor a formula geral da PA e a formula do termo geral de uma PA por favor.
    agradeço

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    1. Termo geral da PA:
      Sabemos que o próximo termo se obtem somando o anterior com a razão. Então:
      a2 = a1 + r
      a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
      a4 = a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r
      Logo,
      an = a1 + (n-1)r

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  28. Me ajude por favor, Qual a soma dos 10 primeiros termos de uma PG sendo que a razao e MEIO e o primeiro numero e -2. se puder me ajudar passo a passo agradeco.

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    1. Utilize a fórmula da Soma da PG
      S10 = -2. [(1/2)^10 - 1] / (1/2) - 1

      O resultado será -1023/256

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  29. Professor,por exemplo,quando a PA tem sete termos,e ele dar a soma dos dois ultimos e dos dois primeiros,e pede a soma dos 3 do meio,que formula eu devo usar para resolver esse problema? Obrigada!

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    1. Pra resposta ficar melhor eu precisaria dos valores, mas vamos lá.

      (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)
      Pela fórmula do termo geral sabemos:
      a2 = a1 + 1r
      a3 = a1 + 2r
      ...
      a6 = a1 + 5r
      a7 = a1 + 6r

      Entao vc terá a1+a2 = a1 + a1 + 1r = 2a1 + 1r = soma dada
      a6+a7 = a1 + 5r + a1 + 6r = 2a1 + 11r = soma dada

      Daí vc terá um sistema com duas incógnitas a1 e r.
      Subtraia a primeira equação da segunda que fica mais fácil.

      2a1 + 11r = soma dada
      -
      2a1 + 1r = soma dada

      daí é só achar o resultado de a1 e r, que vc chega nos resultados de a3 a4 a5.
      Abraço

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    2. preciso de ajuda pra essa questao ,determine o valor de x sabendo que a sequencia (x,6,4x) é uma progressao geometrica.

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  30. muito bom, me ajudou prova amanhã!!!!!

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  31. sabendo que a sequencia numerica (2,5,x,y) é uma progressao aritmetica ,determine os valores de x e y.

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    1. a1=2;n=4; an=y e r =3 se an= a1 + (n-1)r então
      y=2+(4-1)3
      y=11

      y-x=5-2
      11 - x = 3
      x=14

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  32. Um observador, com 1,64 m de altura, vê uma luz no alto de uma torre de televisão, sob um angulo de 60° esse observador se encontra a 20 m da base da torre. Determine a altura aproximada dessa torre .

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    1. Isso aí e trigonometria, a altura é 34 metros

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  33. Este comentário foi removido pelo autor.

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  34. Professor gostaria de ajuda nessa.

    O primeiro e o sétimo termos de uma progressão geométrica, com todos os seus termos positivos, são 8 e 128, respectivamente.
    O quarto termo dessa progressão geométrica é?

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  35. professor me ajude

    A soma dos primeiros elementos da PA (-31,-26,...) é igual a 60. Determine n

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  36. boa noite tenho dificuldade com a1=27 e a3 = 3

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  37. http://content.yudu.com/Library/A1rzh7/EbookMatemticaND/resources/19.htm
    Pagina 16, número 8. PELO AMOR DE DEUS!! obrigada!

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  38. qual a resposta da duas questao que esta no topo da pagina?gostaria de saber?

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